一道三角形最值问题的探究及启示

一道三角形最值问题的探究及启示

蒋振滨   福建省漳平第一中学   （364400）

常数学教学，应致力于促进学生更积极的思考，促进学生思维能力的提高，通过一道题、一类题，得一类法，从而培养学生的思维.在数学方法及数学思想层面给予启迪，在例题设计上，恰到好处的变式，由一道题到一类题，通过一题多解、多题一解，揭示数学知识的本质，削枝强干、去伪存真，揭示数学思想，提升数学能力，在一节复习课教学中，笔者通过一道题的解法探究，变式出多道题，从多题解法的异同提炼出数学思想方法，让学生在对比中有所思、有所悟.

    1.一道题的解法探究

    例题：已知的内角所对的边分别为，且

（1）求角的大小.

（2）若，求的最大值.

    本文只研究（2），第（1）问的答案为

    解法一：均值不等式法

由余弦定理得

当且仅当时，取得最大值.

    解法二：几何法

如图，由圆的性质可知，落在以为半径的圆上，是圆中一条固定的弦，则点在优弧上运动，当点运动到优弧的中点时高最大，

又   的最大值为.

解法三：三角函数法

由正弦定理得

又

时，取得最大值

解法四：坐标法

易知落在以为半径的圆上，是圆中一条固定的弦，则点在优弧上运动，以为半径的圆的圆心为原点建系，，

则，当时，取得最大值

评注：解法一由余弦定理得到的等式，再由基本不等式求得的最大值，从而得面积的最大值，解法二中独特的几何法为该题增添了色彩，数形结合，以形助数，简洁明晰，为学生们拓宽了解题思路，解法三利用正弦定理将边转化为角，利用三角函数的有关知识解题，体现正、余弦定理的边角转化功能，解法四的坐标法，通过建系写方程，求出运动点的轨迹方程，从而得解，数形结合，直观形象，易于理解.，一题多解，为学生拓宽了解题思路，在复习课中尤为可取，加强了数学各体系间的联系，学生解题更随心应手.

2.试题变式探究

变式1. 若，边上的高为，求的最大值.

分析：可用等面积法得，由余弦定理和基本不等式可求得，解法二的几何法（同例题）则可较快的求得答案.

变式2. 若，边上的中线为，求的最大值.

分析：由,两边平方得

，用解法二的几何法，当点运动到优弧的中点时中线最大，体现了几何法在此题的解题优势.

变式3. 若，边上的角平分线为，求的最大值.

分析：可用等面积法

得，当且仅当时，取得最大值.

若用几何法，由平面几何知识可知，点是劣弧中点与优弧上的一点的连线与的交点，如图，同理，当运动至优弧中点时，取得最大值.

变式4. 若，求的最大值.

分析：由余弦定理得得

当且仅当时的最大值为4.

另由正弦定理得

又，的最大值为4.

评注：通过变式，让学生感受不一样的解题思路，加深数学各知识体系间的联系，变式1至3，让学生充分感受到了几何法在解题中的优势，提高学生的数形结合能力，同时变式2、4，又让学生感受到了等式的消元思想，向量法的应用及三角函数边角转化的功能，方法的多样化，让学生的数学思维得到进一步的提升.

3.一道质检题探究

2019年福建省质量检测试题理科第12题

在中，,点在边上，点关于直线的对称点分别为，则的面积的最大值为（   ）

分析：设与交于点，则

,故点在以为直径的圆弧上运动，达最大时，该圆在处的切线与平行，求得此时,故选

评注：通过转化，将两动点变为单动点,再转化为，利用直径所对的圆周角是直角，借助几何特征解题，让学生的思维进一步碰撞，思维的广度、深度得以提高.

4.一道高考题赏析（2014年全国新课标1卷理16题）

   已知分别为的三个内角的对边，，且

，则面积的最大值为         

分析：由得

由正弦定理得，即

由余弦定理得，，由例题解法可得面积的最大值.

    评注：真题再现，感受高考题的味道.

5.一组三角形最值题反馈

题1：在中，, 是的一个三等分点，则的最大值是______ ．

题2：在中，角所对的边分别为，若，的面积，则边的最小值为______ ．

题3：在中，，为边上的点，且,则的面积的最大值为______ ．

题4：在中，角所对的边分别为，且，则角的取值范围为______ ．

题5：在中，角所对的边分别为，，则的取值范围是______

答案：题1：，题2：1，题3：，题4：，题5：.

评注：通过多道题练习反馈，深刻掌握三角形最值问题的解法策略，从不同视角用不同方法解决最值问题，让学生在数学思想层面得以提高.

6.一点启示

    课堂教学，教师应注重举一反三，一课中通过一例的多变式教学，如本课中通过变式，学生自主探究、发现，由余弦定理得到一个等式，该等式含有，联想到基本不等式进行解题，变式2与变式4的向量法及正余弦定理边角转化的应用，另一种几何法则独特简便，代数与几何的完美融合，让学生感受数学之美，领会各数学体系间的关系，从中让学生加深对数学知识的理解，通过一例多变式，通过题组巩固，让学生加深知识间的关联点，掌握多题一解、一题多解，理解其中蕴含的数学思想方法，把握知识本质，为学生建立起思维方法，以不变应万变，提升学生的逻辑思维能力，潜移默化的提升学生的核心素养.