一道三角形最值问题的探究及启示
蒋振滨 福建省漳平第一中学 (364400)
常数学教学,应致力于促进学生更积极的思考,促进学生思维能力的提高,通过一道题、一类题,得一类法,从而培养学生的思维.在数学方法及数学思想层面给予启迪,在例题设计上,恰到好处的变式,由一道题到一类题,通过一题多解、多题一解,揭示数学知识的本质,削枝强干、去伪存真,揭示数学思想,提升数学能力,在一节复习课教学中,笔者通过一道题的解法探究,变式出多道题,从多题解法的异同提炼出数学思想方法,让学生在对比中有所思、有所悟.
1.一道题的解法探究
例题:已知的内角所对的边分别为,且
(1)求角的大小.
(2)若,求的最大值.
本文只研究(2),第(1)问的答案为
解法一:均值不等式法
由余弦定理得
当且仅当时,取得最大值.
解法二:几何法
如图,由圆的性质可知,落在以为半径的圆上,是圆中一条固定的弦,则点在优弧上运动,当点运动到优弧的中点时高最大,
又 的最大值为.
解法三:三角函数法
由正弦定理得
又
时,取得最大值
解法四:坐标法
易知落在以为半径的圆上,是圆中一条固定的弦,则点在优弧上运动,以为半径的圆的圆心为原点建系,,
则,当时,取得最大值
评注:解法一由余弦定理得到的等式,再由基本不等式求得的最大值,从而得面积的最大值,解法二中独特的几何法为该题增添了色彩,数形结合,以形助数,简洁明晰,为学生们拓宽了解题思路,解法三利用正弦定理将边转化为角,利用三角函数的有关知识解题,体现正、余弦定理的边角转化功能,解法四的坐标法,通过建系写方程,求出运动点的轨迹方程,从而得解,数形结合,直观形象,易于理解.,一题多解,为学生拓宽了解题思路,在复习课中尤为可取,加强了数学各体系间的联系,学生解题更随心应手.
2.试题变式探究
变式1. 若,边上的高为,求的最大值.
分析:可用等面积法得,由余弦定理和基本不等式可求得,解法二的几何法(同例题)则可较快的求得答案.
变式2. 若,边上的中线为,求的最大值.
分析:由,两边平方得
,用解法二的几何法,当点运动到优弧的中点时中线最大,体现了几何法在此题的解题优势.
变式3. 若,边上的角平分线为,求的最大值.
分析:可用等面积法
得,当且仅当时,取得最大值.
若用几何法,由平面几何知识可知,点是劣弧中点与优弧上的一点的连线与的交点,如图,同理,当运动至优弧中点时,取得最大值.
变式4. 若,求的最大值.
分析:由余弦定理得得
当且仅当时的最大值为4.
另由正弦定理得
又,的最大值为4.
评注:通过变式,让学生感受不一样的解题思路,加深数学各知识体系间的联系,变式1至3,让学生充分感受到了几何法在解题中的优势,提高学生的数形结合能力,同时变式2、4,又让学生感受到了等式的消元思想,向量法的应用及三角函数边角转化的功能,方法的多样化,让学生的数学思维得到进一步的提升.
3.一道质检题探究
2019年福建省质量检测试题理科第12题
在中,,点在边上,点关于直线的对称点分别为,则的面积的最大值为( )
分析:设与交于点,则
,故点在以为直径的圆弧上运动,达最大时,该圆在处的切线与平行,求得此时,故选
评注:通过转化,将两动点变为单动点,再转化为,利用直径所对的圆周角是直角,借助几何特征解题,让学生的思维进一步碰撞,思维的广度、深度得以提高.
4.一道高考题赏析(2014年全国新课标1卷理16题)
已知分别为的三个内角的对边,,且
,则面积的最大值为
分析:由得
由正弦定理得,即
由余弦定理得,,由例题解法可得面积的最大值.
评注:真题再现,感受高考题的味道.
5.一组三角形最值题反馈
题1:在中,, 是的一个三等分点,则的最大值是______ .
题2:在中,角所对的边分别为,若,的面积,则边的最小值为______ .
题3:在中,,为边上的点,且,则的面积的最大值为______ .
题4:在中,角所对的边分别为,且,则角的取值范围为______ .
题5:在中,角所对的边分别为,,则的取值范围是______
答案:题1:,题2:1,题3:,题4:,题5:.
评注:通过多道题练习反馈,深刻掌握三角形最值问题的解法策略,从不同视角用不同方法解决最值问题,让学生在数学思想层面得以提高.
6.一点启示
课堂教学,教师应注重举一反三,一课中通过一例的多变式教学,如本课中通过变式,学生自主探究、发现,由余弦定理得到一个等式,该等式含有,联想到基本不等式进行解题,变式2与变式4的向量法及正余弦定理边角转化的应用,另一种几何法则独特简便,代数与几何的完美融合,让学生感受数学之美,领会各数学体系间的关系,从中让学生加深对数学知识的理解,通过一例多变式,通过题组巩固,让学生加深知识间的关联点,掌握多题一解、一题多解,理解其中蕴含的数学思想方法,把握知识本质,为学生建立起思维方法,以不变应万变,提升学生的逻辑思维能力,潜移默化的提升学生的核心素养.
|